楽しい数学問題bot 中の人お気に入りの問題や自作問題を出します(高校生向け) ／難易度☆1〜☆12。問題番号Q.2.nは大学範囲を前提とします。 ／運営:@Lim_Rim_ ／京大作サー:@saKUmonCircle
🚩解答pdfは次のリンク(GitHub)を参照
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Q.67 ☆3-高 [進研模試 数学A]
三角形ABCについて,AB=5, BC=3√5, tanA=-3/4 である。∠BCD=90°かつCD=√5/2である点Dを,点Aと同じ側に取り,直線ACと直線BDの交点をEとする。DEの長さを求めよ。
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Q.64 ☆8-高 [Z会京大理系実戦演習]
aを実数の定数とする。xの方程式
x^5-x^4+ax^3+ax^2-x+1=0
の5つの解のうち, 少なくとも2つの解が一致するとき,aの値と,一致する解を求めよ。
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Q.63 ☆2 [京大OP]
pを無理数,qを実数とする。数列{a_n}が a_{n+1}=pa_n +q (n=1,2,3,…) を満たす。すべての自然数nに対して a_n が有理数であるとき, a_nはnによらない定数であることを証明せよ。
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11/7(土) 9:00～11/8(日) 21:00に有志コンテスト「NF杯2026」を実施します！
4年目となる今年も昨年と同様多種多様な問題が集まり、多くの方に楽しんでもらえるコンテストになっています。
是非奮ってご参加ください！！
onlinemathcontest.com/contes…
#NF杯2026 #OMC #saKUmonCircle #京大作問サークル
Q.56 [近似値]
πを円周率, eをネイピア数とする。
(1) 3＜π＜4 を示せ。☆2-高
(2) 2＜e＜3 を示せ。☆3
(3) 円周率が3.05より大きいことを証明せよ。☆4 [東大]
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Q.57 ☆3 [2006京大]
Q(x)を2次式とする。整式P(x)はQ(x)では割り切れないが、{P(x)}²はQ(x)で割り切れるという。このとき2次方程式Q(x)=0は重解を持つことを示せ。
※この問の「整数版」はどのように考えられるか？（多項式と整数は性質が似ていると信じられている）
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Q.53 ☆6-高 [2019早稲田 商]
各項が整数である数列{a_n}が, 次の条件を満たしている。
(ⅰ) 0 ＜ a_n ＜ a_{n+1}
(ⅱ) すべての正の整数nに対し, a_n - n^2は5の倍数
(ⅲ) a_{2019}=6056
次の設問に答えよ。
(1) a_4を5で割った余りを求めよ。
(2) a_n=2021となる正の整数nを求めよ。
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Q.52 ☆2 [相反方程式の解法]
(1) x+1/x=tとする。x^2 + x + 1 + 1/x + 1/x^2 をtで表せ。
(2) 5次方程式 x^5-1=0の解をすべて求めよ。なお, 解は円周率や三角関数を用いず, √を用いて解を表せ。
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Q.51
a,b,cを非負整数とする
(1)任意の自然数nに対してan^2+bn+c（※）が素数であるならば、a=b=0かつcは素数であることを示せ。☆3
※一般のnの多項式でも示せる
(2)任意の自然数nに対してa^n+b^(n-1)が素数ならばa=b=1であることを示せ。☆5 [suiso_728660 様]
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